Source: https://academics.davidson.edu/math/chartier/Shuffle/index.html
Замена на картички, математичко моделирање и ланци на Марков
од Тимоти П. Чартиер (Timothy P. Chartier) и Рубен К. Фрис (Reuben K. Fries)
Вовед
Ви се разгледуваат 5 картички. Вие ги кревате картичките за да видите 4 асови во вашата рака! Шансите дека ќе ви се решат четири од секаков вид во рака од пет картички се јасно против вас, сè додека палубата е случајно нарачана. Ова ве тера да се прашувате, дали палубата не беше доволно измешана или сте биле многу среќни? Ова доведува до други прашања во врска со менувањето на палубата со карти. Колку пати ви треба да замешате палуба со карти пред да се направи редоследот на палубата? Дали е потребен минимален број заменаs за да се обезбеди дека палубата не е нарачана, или не може да се предвиди? Дали има точка каде што продолжувањето на мешањето повеќе не помага да се направи палубата помалку предвидлива? И, што точно подразбираме по случаен избор, ред и предвидливост во палубата картички?
Моделирање на проблемот
За да одговориме на овие прашања, една од алатките што ги имаме на располагање е математичко моделирање. Тешко е да се каже експлицитно што мислиме кога ќе кажеме палуба или не е „случаен“. Без таква експлицитна дефиниција, би било исклучително тешко да се анализираат случајните својства на менувањето на палубата со карти.
Користењето математика за моделирање на однесувањето на палубата на картички, бидејќи се менува, ќе ни овозможи да користиме математички поими за редот и предвидливоста за да го анализираме напредокот на палубата. Математичките модели се само приближување кон реалноста, но жртвувањето што ја правиме во точноста кога користиме математички модел е повеќе отколку што е направено за: Користењето математички модел ни овозможува да ја користиме робусната алатка за математика за да ја анализираме состојбата и квантитативно и квалитативно.
Моделот
Нормален начин на довлечкаа шпил карти често се нарекува riffle замена, затоа што riffle на картички заедно од два купови. Во нивниот труд Заостанува на Довејл Измешано да Нејзините Лаир (Ен. Апл. Веројатност 2, 294-313, 1992), Дејвид Баер и Перси Диаконис потполност се опише математички модел на пушка замена, наречен GSR (Гилберт, Шенон, трска) модел:
“Палуба со n картички се сече на два дела според биномна распределба; на тој начин постои шанса дека картичките се отсечени  за  . Двете пакети потоа се рифлираат заедно на таков начин што картичките се спуштаат од левата или десната грамада со веројатност пропорционална на бројот на картички во секоја грама.”-Баер и Диаконис |
Ова вели дека палубата картички обично се сече на средина, а ретко се сече близу до предниот или задниот дел од палубата. Следно, како што се рашири палубата, може да се види како една картичка по друга која се спушта од левата и десната рака. Овој модел претпоставува веројатност дека картичката ќе се спушти од левата рака е L/(L+R) каде L и R се бројот на картички кои сеуште се во левата и десната страна, соодветно. На пример, ако имате 10 карти во левата рака и 15 во десната, веројатноста дека следната картичка ќе се спушти од левата страна ќе биде 10/(10+15) и веројатноста дека ќе се спушти од десно. биде 15/(10+15). Забележете дека збирот од 10/(10+15) и 15/(10+15) е 1. Навистина, веројатноста дека следната карта ќе се спушти од левата или од десната рака е 1.
Користењето на овој модел, Баер и Диаконис истражува еволуцијата на случајноста во шпил карти мешаат некои број на пати. Секој носи замена на палубата од една до друга држава со некои веројатност. Ова е местото каде Марков синџири да биде корисна. Марков синџири да го моделира однесувањето на систем кој зависи само од претходниот експеримент или државата. Тоа е, следниот состојба на системот зависи само од моменталната состојба каде што исходот на секој експеримент е еден дискретен збир на држави. Марков синџири бараат транзиција матрица, P, каде P(j,i) е еднаква на веројатноста одат од државата i на државните j.
Да се вратиме нашиот фокус на довлечкаа на картички. А во собата на discete држави за нашата систем може да се дефинира како n! можно orderings на шпил n картички. Гледате ли проблем со тоа? Соодветните транзиција матрица за шпил од 52 карти ќе бара квадратна матрица на димензија 52! x 52!. Со нашите пресметки* , бројот на записи во оваа матрица ќе бара астрономски е поголем од бројот на атомите во земјата.
Ние може да потоне во бездна на безнадежна очај. Наместо тоа, да се дефинира зголемувањето на секвенца. Повторно, ние позајмуваат дефиницијата од Баер и Диаконис:
| Следната секвенца е максимален подмножество на аранжман на картички, што се состои од последователни вредности на лицето прикажани по редослед. Растечките секвенци не се пресекуваат, така што секој аранжман на палуба картички е уникатно соединување на неговите растечки секвенци. -Бајер и Диаконис |
На пример, секвенцата „1745236“, како што е прикажано подолу, има точно три секвенци во пораст.
Првата секвенца во пораст е 123, прикажана подолу, бидејќи тие бројки се наоѓаат по редослед од лево кон десно во низата.
Следната растечка секвенца е 7:
Третата и последната низа во пораст е 456:
Првичната нарачување на шпил карти n е 123…n, која има еден зголемувањето низа. Минималниот број на зголемувањето на секвенци за било нарачки е 1, и може да има до n зголемувањето на секвенци на подредување на n картички. (Потврди ова за себе.) Сега, нека дефинираат државата јас како ситуација каде што имаме нарачување на картички содржи i зголемувањето на секвенци. Со редефинирање нашите држави на овој начин, матрица на транзиција се потребни само n x n записи.
Поточно, записите на транзиција матрица Р се:
каде a(j) = Еулеријански броеви. Овие броеви го означуваат бројот на пермутации на {1,2…,n} кои имаат j секвенци во пораст.
Прашањето за тоа колку меша е потребно за да randomize шпил и натаму останува. Да се истражуваат интерактивно овој модел и да се најде одговорот, кликнете овде за да ја видите симулација на моделот GSR.
* Оваа работа беше поддржана од грант за NSF DMS-9810726.
Цртани филмови благодарение на Learn2.com