април 10, 2017

Низата На Фибоначи, Спирали И Златното Правило

Source: https://math.temple.edu/~reich/Fib/fibo.html

Cеквенца Фибоначи покажува одреден нумерички модел кој настанува како одговор на една вежба во првиот алгебра текст некогаш средно училиште. Овој модел се покажа да имаат интерес и важност подалеку од она што неговиот творец замисли. Може да се користи за да се моделира или се опише неверојатно различни феномени, во математиката и науката, уметноста и природата. Математичките идеи низата на Фибоначи доведува до, како што се на златниот сооднос, спирали и само- слични криви, веќе долго време се ценети поради нивниот шарм и убавина, но никој не може да се објасни зошто тие се повтори, па јасно во светот на уметноста и природата.

Приказната започна во Пиза, Италија во годината 1202. Леонардо Писано Биголло беше млад човек во своите дваесетти години, член на важен трговски семејството на Пиза. Во неговите патувања низ целиот Блиски Исток, тој беше воодушевена од математички идеи што доаѓаат западно од Индија преку арапските држави. Кога се вратил во Пиза ја објави овие идеи во една книга за математика наречен Либер Абачи, која стана атракција во Европа. Леонардо, кој оттогаш се да биде познат како Фибоначи, стана најславните математичар од средниот век. Неговата книга е дискурс на математички методи во трговијата, но сега се памети, главно, за две придонеси, еден очигледно важно во тоа време и еден навидум безначајни.

Важно еден: тој го донесе на вниманието на Европа Хинду системот за пишување броеви. Европската трговците и научници се уште се припивам до употреба на старите римски броеви; модерната математика би било невозможно без оваа промена во системот хинду, кој ние го нарекуваме сега Арапски нотација, откако дојде запад преку арапски земји.

Од друга: скриен во листа на мозокот закачки, Фибоначи поставено следново прашање:

Ако еден пар на зајаци се става во затворен простор, како многу зајаци ќе се роди таму, ако ние се претпостави дека секој месец пар зајаци произведува друг пар, и дека зајаци почнат да носат млади два месеци по нивното раѓање?

Ова очигледно невини малку прашање е како одговор на одредена секвенца на броеви, познат сега како низата на Фибоначи, која има испадна да биде еден од најинтересните некогаш напишана. Тоа е откриена во неверојатен спектар на форми, во гранки на математиката далеку од едноставни аритметички. Метод на развој доведе до далекусежни апликации во математика и информатика.

Но, дури и повеќе фасцинантна е изненадувачки изгледот на Фибоначи броеви, и нивната релативна коефициенти, во арени далеку од логичката структура на математика: во природата и во уметноста, во класичните теории за убавина и пропорција.

Размислете за основно пример на геометриски раст – бесполово размножување, како и тоа на амеба. Секој организам се дели на два по интервал од време созревање карактеристика на видови. Овој интервал се движи по случаен избор, но во рамките на одредени фреквенции според надворешните услови, како температура, достапноста на хранливи материи и така натаму. Ние може да се замисли поедноставен модел, каде што, во совршени услови, сите амеби подели по истиот период на раст.

Значи, станува амеби два, два стана 4, тогаш 8, 16, 32, и така натаму.

Ние се добие двојно низа. Обрнете внимание на рекурзивен со формулата:

  • An =2An

Ова секако води кон експоненцијален раст, еден карактеристичен модел на раст на населението.


Сега во зајакот состојба на Фибоначи, постои фактор задоцнување; секој пар бара некои време да созреат. Значи ние сме претпоставувајќи

• време созревање = 1 месец
• време на бременоста = 1 месец

Ако сте биле за да се обидат ова во вашиот двор, тука е она што ќе се случи:


Сега нека компјутер подготви уште неколку линии:



Моделот што го гледаме овде е дека секоја група или генерација останува како дел од следната, и покрај тоа, секој пораснал пар придонесува бебето пар. Бројот на таквите бебе парови се совпаѓа со вкупниот број на парови во претходната генерација. симболично

  • fn = број на парови во текот на месец n
  • fn = fn-1 + fn-2

Значи имаме рекурзивен формула каде секоја генерација се дефинира во однос на претходните две генерации. Со користење на овој пристап, ние може да се пресмета сукцесивно fn за што повеќе генерации како што ние сакаме.

Значи ова секвенца на броеви 1,1,2,3,5,8,13,21, … и рекурзивен начин на бескрајноста изградба, е решение за загатка Фибоначи. Но, она што Фибоначи не можел да ги предвиди беше огромен број на апликации кои овие броеви и овој метод на крајот ќе имаат. Неговата идеја беше поплодна од неговата зајаци. Само во поглед на чиста математика – теорија на броеви, геометрија и така натаму – обемот на неговата идеја беше толку голема што на целиот стручно списание е посветен на тоа – на Фибоначи Квартален.

Сега да ги погледнеме во друга разумно природна состојба каде истиот редослед “мистериозно” се појавува. Вратете 350 години до 17-ти век во Франција. Блез Паскал е млад Французин, научник кој е растргнат помеѓу неговата уживање на геометријата и математиката и неговата љубов кон религијата и теологијата. Во една од повеќе световни моменти од неговиот живот тој се консултираше со пријател, професионален коцкар, повторно на Шевалие де мене, Антоан Гомбауд. На Шевалие прашува Паскал некои прашања во врска со претстави на генерал и картички, како и за соодветна поделба на влоговите во недовршената игра. одговор на Паскал е да се измисли една сосема нова гранка на математиката, теоријата на веројатност. Оваа теорија се зголеми во текот на годините во 20 век од витално значење алатка за науки и општествените науки. работа Паскал во голема мера се потпира на збир на броеви се нарекува со Паскал Триаголник, и претставени како оваа:

Оваа конфигурација има многу интересни и важни својства:

• Обрнете внимание на лево-десно симетрија – тоа е свој одраз во огледалото.
• Забележете дека во секој ред, вториот број брои редот.
• Забележете дека во секој ред, 2 + 3 се брои бројот на броеви над таа линија.

Има бескрајни варијации на оваа тема.
Следно, се забележи она што се случува кога ќе се додаде на броевите во секој ред – ние го добиваме нашиот удвојување низа.

Сега за визуелна погодност подготви триаголникот лево-оправдано. Додадете до броевите на различни дијагонали…

а ние се 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,… низата на Фибоначи!

Фибоначи не можел да знае за оваа врска помеѓу неговата зајаци и теоријата на веројатност – теоријата не постои до 400 години подоцна.

Она што е навистина интересно во врска со низата на Фибоначи е дека неговите модел на раст на некој мистериозен начин се совпаѓа со силите контролирање раст во голем број на природни динамички системи. Сосема аналогно на репродукција на зајаци, да разгледаме семејното стебло на пчела – па ние се погледне во предци отколку потомци. Во поедноставена репродуктивен модел, машки пчели решетки од неоплодени јајце и така тој има само еден родител, со оглед на женски решетки од оплодената јајце клетка, и има два родители. Тука е семејното стебло на типичен машки пчели:

Забележете дека ова личи на табелата зајак, но се движи назад во времето. На машки предци во секоја генерација се формира Фибоначи низата, како и на женските предци, исто како и вкупниот број. Може да се види од дрвото што пчелата општество е женски доминираат.

Најпознатите и убави примери на појава на низата на Фибоначи во природата се наоѓаат во различни дрвја и цвеќиња, генерално поврзани со некој вид на спирала структура. На пример, остава на стеблото на еден цвет или гранка на едно дрво често расте во спирален модел, незапирливото aroung филијалата како нови лисја формираат повеќе надвор. Слика ова: Ти имаш власт во вашата рака. Се фокусира вашето внимание на дадена лист и почнат да бројат околу и надвор. Брои лисјата, а исто така се брои бројот на се врти околу гранка, додека не се врати на позиција појавување на оригиналниот лист, но повеќе заедно филијалата. Двете броеви ќе биде Фибоначи броеви.

На пример, за една круша ќе има 8 листови и 3 се врти. Еве неколку примери:

Гранки на семејството Фибоначи
Дрво Листовите Пресврт
Брест 2 1
Вишна 3 2
Бука 3 1
Топола 5 2
Плачејќи врба 8 3
Круша 8 3
Бадем 13 8

Можете да се прошетам во паркот и да се најде на овој модел на растенија и грмушки прилично лесно.

Многу цвеќиња нудат прекрасен потврда на мистика Фибоначи. Паричка има централно јадро која се состои од мали цветче наредени во спротивната спирали. 21 Таму обично се случува на левата страна и 34 на правото. Планински Астер може да има 13 спирали на левата страна и 21 на правото. Сончогледи се најспектакуларните пример, обично има 55 спирали еден начин и 89 во други; или, во најдобрите сорти, 89 и 144.

Борови шишарки, исто така, се изградени во спирала мода, мали оние кои имаат најчесто со 8 спирали еден начин, а 13 други. Најинтересен е ананасот – изградена од соседните шестоаголници, три вида на спирали се појави во три димензии. Постојат 8 на правото, 13 на лево, и 21 вертикално – на Фибоначи тројно.

Зошто ова треба да биде? Зошто мајката природа пронајдени еволутивна предност во уредувањето на растенијата структури во спирала форми изложува на Фибоначи секвенца?

Немаме некои одговор. Во 1875 година, математичар име Вајзнер обезбеди математички доказ дека спирален уредување на листовите на филијала во Фибоначи размери е ефикасен начин да се соберат на максималниот износ на сончева светлина со неколку листови – тој тврди, на најдобар начин. Но, неодамна, на Универзитетот Корнел ботаничар по име Карл Никлас одлучи да се тестираат оваа хипотеза во својата лабораторија; тој открил дека речиси секој разумни аранжман на листовите има истата способност сончева светлина-собир. Значи ние се уште се во мрак за светлината.

Но, ако мислиме дека во однос на природните моделите раст Мислам дека може да почнат да се разбере присуство на спирали и врската помеѓу спирали и низата на Фибоначи.

Спирали произлегуваат од сопственост на раст наречен авто-сличност или скалирање – тенденцијата да расте во големина, но да се задржи истата форма. Не сите организми растат во овој авто-сличен начин. Видовме дека за возрасни лица, на пример, не се само намалени до бебиња: бебиња имаат поголеми глави, пократки нозе и подолг торзото во однос на нивната големина. Но, ако гледаме на пример на школка на комори наутилус гледаме друга моделот на раст. Како наутилус надраснуваат секој дом, таа го гради нови комори за себе, секогаш иста форма – ако се замисли многу долговечни наутилус, својата школка ќе спирала околу и наоколу, расте уште поголеми, но секогаш во потрага иста на секое ниво.

Тука е местото каде Фибоначи доаѓа во – ние може да се изгради квадратни вид на наутилус со почнување со квадратот на големина 1 и последователно изградба на нови простории, чии димензии одговараат на Фибоначи секвенца:

Се протега низ центрите на плоштади со цел со мазни крива се добива наутилус спирала = сончогледот спирала.

Ова е посебен спирала, слична на себе си крива која го задржува својата форма во сите размери (ако се замисли дека незапирливото надвор засекогаш). Тоа се нарекува на истиот јаглероден бидејќи радијална линија од центарот го прави секогаш ист агол на крива. Оваа крива била позната на Архимед на античка Грција, најголема геометар од античките времиња, а можеби и на сите времиња.

Ние навистина треба да се размислува за ова крива што незапирливото нагоре засекогаш, како и надвор. Тоа е тешко да се подготви; може да се визуелизира вода вителот околу мал крварат дупка, се подготвени во поблиска како што спирали, но никогаш не паѓа во Овој ефект е илустрирано од страна на друг класичен мозокот закачка:

Четири грешки стојат на четирите агли на плоштад. Тие се гладни (или осамени) и во истиот момент секој од нив се види на бубачки на следниот агол над и да почне индексирање кон него. Што се случува?

Сликата ја раскажува приказната. Како што ползи кон друг тие спирала во центарот, секогаш формирање на уште помали плоштад, се вртат и околу засекогаш. Сепак, тие стигнат до едни со други! Ова не е парадокс, бидејќи должината на оваа спирала е конечен. Тие трага од истиот на истиот јаглероден спирала.
Сега, бидејќи сите овие спирали се само-слични тие изгледаат исти на секое ниво – на скалата не е важно. Она што е важно е дел – овие спирали имаат фиксен процент утврдување на нивната форма. Излезе дека овој процент е иста како и пропорциите генерирани од последователни записи во низата на Фибоначи: 5:3, 8:5,13:8, и така натаму. Тука е пресметка:

Фибоначи пропорции

Како што ние одиме понатаму надвор во низа, пропорциите на соседните однос почнува да им пријде на фиксна гранична вредност од 1,618034. . . Ова е многу познат односот со долга и чест историја; златното правило на Евклид и Аристотел, божествената пропорција на Леонардо Да Винчи, се смета за најубавиот и важни за количини. Овој број има повеќе извонредно привлечна својства отколку што можете да си замислите.

Со едноставна пресметка, можеме да видиме дека ако ние одземе 1 добиеме 0,618. . која е неговата реципрочна. Ако го додадеме 1 добиваме 2,618. . . која е неговата плоштад.

Со користење на традиционални име за овој број, грчката буква φ (“фи”) може да се напишат на симболичен начин:

Решавањето на овој квадратна равенка добиеме

Тука се и некои други чудни но фасцинантна изрази кои можат да се добијат:

, бесконечен каскада на квадратни корени.

, бесконечен каскада од фракции.

Користејќи се со оваа златниот сооднос како основа, ние може да се изгради експлицитна формула за броевите на Фибоначи:

Формула за броевите на Фибоначи:

Но, Грците имаа повеќе визуелен аспект за златното правило на. Тие праша: што е најприродната и строен начин да се подели линија во 2 парчиња? Тие повикаа на оваа секција. Грците чувствував силно дека идеално треба да одговара на соодносот помеѓу деловите со онаа на делови на целината. Ова резултира со процентот на точно φ.

Формирање на правоаголник со делови од линијата како страни резултати во визуелно задоволство форма која е основа на нивната уметност и архитектура. Оваа естетски беше усвоен од страна на големите уметници ренесансата во сликарството, и се уште е со нас денес.


Дан Рајх
Одделението за математика, храмот универзитет

 

Please Post Your Comments

Вашата адреса за е-пошта нема да биде објавена. Задолжителните полиња се означени со *